Question

（1）當a=

1

2

時，解不等式ax²+2x+1＞0；
（2）當a∈R時，解關于x的不等式ax²+2x+1＞0．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：分類討論,不等式的解法及應用

分析：（1）直接利用一元二次不等式的解法進行求解即可；
（2）對參數(shù)a的取值范圍進行討論，根據(jù)開口方向分a=0，a＞0，a＜0三類，當a＞0時還需討論判別式，然后解不等式即可．

解答： 解：（1）當a=

1

2

時，不等式為x²+4x+2＞0，
∴原不等式的解集為{x|x＜-2-

2

或x＞-2+

2

}；
（2）當a=0時，原不等式的解集為{x|x＞-

1

2

}，
當a＞0時，方程ax²+2x+1=0，△=4-4a，
①若△＞0，即0＜a＜1時，方程ax²+2x+1=0的兩個解為x1=

-1- 1-a

a

，x2=

-1+ 1-a

a

，且x₁＜x₂，
∴原不等式的解集為{x|x＜

-1- 1-a

a

或x＞

-1+ 1-a

a

}；
②若△=0，即a=1時，原不等式的解集為{x|x≠-1}；
②若△＜0，即a＞1時，原不等式的解集為R；
當a＜0時，一定有△＞0，方程ax²+2x+1=0的兩個解為x1=

-1- 1-a

a

，x2=

-1+ 1-a

a

，且x₁＞x₂，
∴原不等式的解集為{x|

-1+ 1-a

a

＜x＜

-1- 1-a

a

}．

點評：本題考查一元二次不等式的解法，解題的關鍵是對參數(shù)的范圍進行分類討論，分類解不等式，此題是一元二次不等式解法中的難題，易因為分類不清與分類有遺漏導致解題失敗，解答此類題時要嚴謹，避免考慮不完善出錯．