Question

若f(x)=loga(ax2-ax+

1

2

)在[1，

3

2

]上恒正，則實數(shù)a的取值范圍是______．

Answer 1

若a＞1，則問題等價于ax2-ax-

1

2

＞0在[1，

3

2

]上恒成立，
因為對于的二次函數(shù)y=ax2-ax-

1

2

在[1，

3

2

]上單調(diào)遞增，所以1-1-

1

2

＞0，不成立；
若0＜a＜1，則問題等價于ax2-ax-

1

2

＜0，且ax2-ax+

1

2

＞0在[1，

3

2

]上恒成立，
因為對于的二次函數(shù)y=ax2-ax-

1

2

在[1，

3

2

]上單調(diào)遞增，
所以

9

4

a-

3

2

a-

1

2

＜0，解得a＜

2

3

；
函數(shù)y=ax2-ax+

1

2

在[1，

3

2

]上單調(diào)遞增，所以1-1+

1

2

＞0成立，
綜上，0＜a＜

2

3

故實數(shù)a的取值范圍是(0，

2

3

)
故答案為：(0，

2

3

)