Question

已知函數(shù)f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x  （其中a∈R）．若x=0為f（x）的極值點．解不等式f（x）＞（x-1）（

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2

x²+x+1）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由于x=0為f（x）的極值點，可得f′（0）=0，得到a=0．當a=0時，f（x）＞（x-1）（

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2

x²+x+1）?（x-1）•e^x＞(x-1)(

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2

x2+x+1)，整理得（x-1）[ex-(

1

2

x2+x+1)]＞0．令g（x）=e^x-(

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2

x2+x+1)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x，
∴f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x，
∵x=0為f（x）的極值點，
∴f′（0）=ae⁰=0，解得a=0．
檢驗，當a=0時，f′（x）=xe^x，當x＜0時，f′（x）＜0，當x＞0時，f′（x）＞0．
∴x=0為f（x）的極值點，故a=0．
當a=0時，f（x）＞（x-1）（

1

2

x²+x+1）?（x-1）•e^x＞(x-1)(

1

2

x2+x+1)，
整理得（x-1）[ex-(

1

2

x2+x+1)]＞0，
即

x-1＞0 ex-( 1 2 x2+x+1)＞0

或

x-1＜0 ex-( 1 2 x2+x+1)＜0

 
令g（x）=e^x-(

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2

x2+x+1)，h（x）=g′（x）=e^x-（x+1），h′（x）=e^x-1，
當x＞0時h′（x）=e^x-1＞0；當x＜0時，h′（x）＜0．
∴h（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴h（x）＞h（0）=0．
即g′（x）＞0，∴g（x）在R上單調(diào)遞增，g（0）=0．
故ex-(

1

2

x2+x+1)＞0?x＞0；ex-(

1

2

x2+x+1)＜0?x＜0．
∴原不等式的解集為{x|x＜0或x＞1}．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了利用單調(diào)性解不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．