Question

1．已知圓M：x²+（y-2）²=r²（r＞0）與曲線C：（y-2）（3x-4y+3）=0有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
（1）求圓M的方程；
（2）已知點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)．
①若$|{AB}|=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，求|MQ|及直線MQ的方程；
②求證：直線AB恒過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)橹本�3x-4y+3=0與圓M相切，圓心（0，2）到直線的距離為r，即可求圓M的方程；
（2）①|(zhì)AM|²=|MP||MQ|，所以|MQ|=3，求出Q的坐標(biāo)，即可求出直線MQ的方程；
②求出直線AB的方程，即可證明直線AB恒過定點(diǎn)．

解答 解：（1）因?yàn)橹本�3x-4y+3=0與圓M相切，
故圓心（0，2）到直線的距離為r，即：$\frac{{|{-8+3}|}}{5}=r$，r=1．
所以圓的方程為x²+（y-2）²=1．
（2）①設(shè)直線MQ，AB交于點(diǎn)P，則$|{AP}|=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
又|AM|=1，所以$|{MP}|=\sqrt{1-{{（{\frac{{2\sqrt{2}}}{3}}）}^2}}=\frac{1}{3}$，
而|AM|²=|MP||MQ|，所以|MQ|=3，
設(shè)Q（x₀，0），而點(diǎn)M（0，2），由$\sqrt{{x_0}^2+{2^2}}=3$，${x_0}=±\sqrt{5}$，
則$Q（{\sqrt{5}，0}）$或$Q（{-\sqrt{5}，0}）$，
從而直線MQ的方程為：$2x+\sqrt{5}y-2\sqrt{5}=0$或$2x-\sqrt{5}y+2\sqrt{5}=0$．
②證明：設(shè)點(diǎn)Q（q，0），由幾何性質(zhì)可以知道，A，B在以MQ為直徑的圓上，
此圓的方程為x²+y²-qx-2y=0，AB為兩圓的公共弦，
兩圓方程相減得qx-2y+3=0，
即$AB：y=\frac{q}{2}x+\frac{3}{2}$，
所以過定點(diǎn)$（{0，\frac{3}{2}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．