Question

15．某公司出售某種產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品的成本為1元，并且每出售1件產(chǎn)品需向總公司交a（0＜a＜1，a為常數(shù)）元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x（2≤x≤3）元時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為（x²-tx）萬(wàn)件（t為常數(shù)），當(dāng)售價(jià)為3元時(shí)，年利潤(rùn)恰為（6-3a）萬(wàn)元，現(xiàn)為了促銷(xiāo)，增加投入1萬(wàn)元用于廣告宣傳后，一年的銷(xiāo)售量增加了1萬(wàn)件（注：利潤(rùn)=總收入-總支出）
（1）求t的值，并求通過(guò)廣告宣傳后，該公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件商品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；
（2）求通過(guò)廣告宣傳后，每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，該公司一年的利潤(rùn)L最大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意先求出每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，再乘以一年的銷(xiāo)量，便可求出分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)L與x的函數(shù)關(guān)系式先求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令L′（x）=0便可求出極值點(diǎn)，從而求出最大利潤(rùn)．

解答 解：（1）當(dāng)售價(jià)為3元時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為（9-3t）萬(wàn)件，
年利潤(rùn)L=（2-a）（9-3t）=6-3a，所以t=2．
通過(guò)廣告宣傳后，該公司一年的利潤(rùn)L=（x-1-a）（x²-2x+1）（2≤x≤3）；
（2）L′（x）=x²-2x+1+（x-1-a）（2x-2）=（x-1）（3x-3-2a）
令L′（x）=0得x=1+$\frac{2}{3}$a或x=1（不合題意，舍去）．
∵0＜a＜1，∴1＜1+$\frac{2}{3}$a＜$\frac{5}{3}$．
∴函數(shù)在[2，3]上單調(diào)遞增，
∴通過(guò)廣告宣傳后，每件商品的售價(jià)定為3元時(shí)，該公司一年的利潤(rùn)L最大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法以及利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求得函數(shù)的最值問(wèn)題，是各地高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意自變量的取值范圍，屬于中檔題．