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（理）令cn=1-
1
3
an，Sn為數(shù)列{ncn}的前n項和，求證不等式Sn≤
2
3
n2-n+3．
分析：由bn=an+1-an=(
2
3
)n得an+1-a1=(
2
3
)n+(
2
3
)n-1+…+(
2
3
)2+
2
3
=2[1-(
2
3
)n]，由a1=1，知an=3-
2n
3n-1
（n∈N*），即Cn=(
2
3
)n，所以Sn=C1+2C2+3C3+…nCn=
2
3
+2×(
2
3
)2+3×(
2
3
)3+…n×(
2
3
)n，由此能求出Sn=6-
2n
3n-1
-
n×2n+1
3n
=6-(3+2n)•(
2
3
)n，從而能夠證明Sn≤
2
3
n2-n+3．
解答：證明：由bn=an+1-an=(
2
3
)n，
得an+1-a1=（an+1-an）+（an-an-1）+…+（a2-a1）
=(
2
3
)n+(
2
3
)n-1+…+(
2
3
)2+
2
3

=2[1-(
2
3
)n]．
又∵a1=1，
∴an=3-
2n
3n-1
（n∈N*），
即cn=1-
1
3
an=1-
1
3
(3-
2n
3n-1
)=(
2
3
)n…（8分）
∴Sn=C1+2C2+3C3+…nCn
=
2
3
+2×(
2
3
)2+3×(
2
3
)3+…n×(
2
3
)n…（1）
（1）式左右兩邊同乘
2
3
，
得
2
3
Sn=(
2
3
)2+2×(
2
3
)3+3×(
2
3
)4…+(n-1)×(
2
3
)n+n×(
2
3
)n+1…（2）
（1）式減去（2）式，
得
1
3
Sn=
2
3
+(
2
3
)2+(
2
3
)3+…+(
2
3
)n-n×(
2
3
)n+1
=2[1-(
2
3
)n]-n×(
2
3
)n+1
∴Sn=6-
2n
3n-1
-
n×2n+1
3n

=6-(3+2n)•(
2
3
)n…（12分）
∵(
2
3
)n=(1-
1
3
)n=1-
1
3
n+
C
2
n
×(
2
3
)2+…≥1-
1
3
n
∴（3+2n）•(
2
3
)n≥(3+2n)•(1-
1
3
n)=-
2
3
n2+n+3，
∴Sn=6-(3+2n)•(
2
3
)n≥6-(-
2
3
n2+n+3)
=
2
3
n2-n+3，
故Sn≤
2
3
n2-n+3．…（14分）
點評：本題是函數(shù)與數(shù)列問題型綜合問題，是近年數(shù)學高考的一個�？键c，綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，注意迭代法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）已知數(shù)列{an}，Sn是其前n項和，Sn=1-an（n∈N*），
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，bn=（n+1）an，求Tn；
（3）設cn=
3an
(2-an)(1-an)
，數(shù)列{cn}的前n項和Rn，且Rn＜λ+
m
λ
(λ＞0，m＞0)恒成立，求m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（09年濱州一模理）（14分）

已知曲線過上一點作一斜率為的直線交曲線于另一點，點列的橫坐標構成數(shù)列，其中．

（I）求與的關系式；

（II）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（III）若（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*,都有cn+1＞cn成立。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(理)已知函數(shù)f(x)=(0＜x＜1)的反函數(shù)為f-1(x)，設它在點(n,f-1(n))(n∈N*)處

的切線在Y軸上的截距為bn，數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=f-1(an)(n∈N*)．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)在數(shù)列{}中，僅當n=5時，取最小值，求A的取值范圍；

(3)令函數(shù)g(x)=f-1(x)(1+x)2，數(shù)列{cn}滿足：c1=，cn+1=g(cn)(n∈N*)，求證：對于一切

n≥2的正整數(shù)，都滿足：1＜＜2．

(文)已知函數(shù)f(x)：(0＜x＜1)的反函數(shù)為f-1(x)，數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=f-1(an) (n∈N*)．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設函數(shù)g(x)=f-1(x)(1+x)2在點(n，g(n))(n∈N*)處的切線在Y軸上的截距為bn，求數(shù)列{bn}的通項公式；

(3)在數(shù)列{bn+}中，僅當n=5時，bn+取最大值，求λ的取值范圍．

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