Question

在計(jì)算“1×2+2×3+…n（n+1）”時(shí)，先改寫(xiě)第k項(xiàng)：
k（k+1）=[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=（1×2×3-0×1×2），2×3=（2×3×4-1×2×3），．．
n（n+1）=[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=
（1）類(lèi)比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的結(jié)果；
（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的等式．

Answer 1

解：（1）∵n（n+1）（n+2）=[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]
∴1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）
2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）
…
n（n+1）（n+2）=[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=[（1×2×3×4-0×1×2×3）+（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+n×（n+1）×（n+2）×（n+3）-（n-1）×n×（n+1）×（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證：1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1×2×3，右邊==1×2×3，左邊=右邊，等式成立．
②設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，等式成立，
即1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）=．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）
=+（k+1）（k+2）（k+3）
=（k+1）（k+2）（k+3）（+1）
=
=．
∴n=k+1時(shí)，等式成立．
由①、②可知，原等式對(duì)于任意n∈N^*成立．
分析：（1）根據(jù)已知中給出的在計(jì)算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時(shí)化簡(jiǎn)思路，對(duì)1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)，處理的方法就是類(lèi)比k（k+1）=[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，將n（n+1）（n+2）進(jìn)行合理的分解．
（2）直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，先證明n=1時(shí)，結(jié)論成立，再設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，等式成立，利用假設(shè)證明n=k+1時(shí)，等式成立即可．．
點(diǎn)評(píng)：類(lèi)比推理的一般步驟是：（1）找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．（2）考查數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，證題的關(guān)鍵是利用歸納假設(shè)證明n=k+1時(shí)，等式成立，屬于中檔題．