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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

【題目】如圖，在三棱柱中，是邊長為2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，點在線段上移動（不與重合），是的中點.

（1）當四面體的外接球的表面積為時，證明：.平面

（2）當四面體的體積最大時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由題意，先求得為的中點，再證明平面平面，進而可得結論；

（2）由題意，當點位于點時，四面體的體積最大，再建立空間直角坐標系，利用空間向量運算即可.

（1）證明：當四面體的外接球的表面積為時.

則其外接球的半徑為.

因為時邊長為2的菱形，是矩形.

，且平面平面.

則，.

則為四面體外接球的直徑.

所以，即.

由題意，，，所以.

因為，所以為的中點.

記的中點為，連接，.

則，，，所以平面平面.

因為平面，所以平面.

（2）由題意，平面，則三棱錐的高不變.

當四面體的體積最大時，的面積最大.

所以當點位于點時，四面體的體積最大.

以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，，.

所以，，，.

設平面的法向量為.

則

令，得.

設平面的一個法向量為.

則

令，得.

設平面與平面所成銳二面角是，則.

所以當四面體的體積最大時，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

練習冊系列答案

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【題目】“偉大的變革—慶祝改革開放40周年大型展覽”于2019年3月20日在中國國家博物館閉幕，本次特展緊扣“改革開放40年光輝歷程”的主線，多角度、全景式描繪了我國改革開放40年波瀾壯闊的歷史畫卷．據(jù)統(tǒng)計，展覽全程呈現(xiàn)出持續(xù)火爆的狀態(tài)，現(xiàn)場觀眾累計達423萬人次，參展人數(shù)屢次創(chuàng)造國家博物館參觀紀錄，網(wǎng)上展館點擊瀏覽總量達4.03億次．

下表是2019年2月參觀人數(shù)（單位：萬人）統(tǒng)計表

日期	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
人數(shù)	3.0	3.1	2.5	2.3	5.4	6.8	6.2	6.7	5.5	4.9	3.2	3.0	2.7	2.5
日期	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28
人數(shù)	2.4	2.9	3.2	2.8	2.9	2.3	3.0	2.9	3.1	3.0	3.1	3.1	3.1	3.0

根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答下列問題：

（1）請將2019年2月前半月（1～14日）和后半月（15～28日）參觀人數(shù)統(tǒng)計對比莖葉圖填補完整，并通過莖葉圖比較兩組數(shù)據(jù)方差的大�。ú灰笥嬎愠鼍唧w值，得出結論即可）；

（2）將2019年2月參觀人數(shù)數(shù)據(jù)用該天的對應日期作為樣本編號，現(xiàn)從中抽樣7天的樣本數(shù)據(jù)．若抽取的樣本編號是以4為公差的等差數(shù)列，且數(shù)列的第4項為15，求抽出的這7個樣本數(shù)據(jù)的平均值；

（3）根據(jù)國博以往展覽數(shù)據(jù)及調(diào)查統(tǒng)計信息可知，單日入館參觀人數(shù)為0～3（含3，單位：萬人）時，參觀者的體驗滿意度最佳，在從（2）中抽出的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取兩天的數(shù)據(jù)，求這兩天參觀者的體驗滿意度均為最住的概率．

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【題目】已知函數(shù)，的最大值為.

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）當時，令，是否存在區(qū)間.使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.

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【題目】已知，.

(1)求曲線在點處的切線方程;

(2)當時，若關于的方程存在兩個正實數(shù)根，證明:且.

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（1）當時，求曲線上的點到直線的距離的最大值；

（2）若曲線上的所有點都在直線的下方，求實數(shù)的取值范圍.

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（1）若點是的中點，求證:平面平面；

（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.

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（1）（2）

（1）在圖2中，求證：平面；

（2）求二面角的大小.

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（1）若一分鐘跳繩個數(shù)達到160為優(yōu)秀，求該校六年級學生一分鐘跳繩為優(yōu)秀的人數(shù)；

（2）上級部門要對該校體質監(jiān)測情況進行復查，發(fā)現(xiàn)每組男、女學生人數(shù)比例有很大差別，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為.試估計此校六年級男生一分鐘跳繩個數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，結果保留整數(shù)）.