Question

【題目】在中，兩直角邊AB，AC的長(zhǎng)分別為m，n（其中），以BC的中點(diǎn)O為圓心，作半徑為r（）的圓O．

（1）若圓O與的三邊共有4個(gè)交點(diǎn)，求r的取值范圍；

（2）設(shè)圓O與邊BC交于P，Q兩點(diǎn)；當(dāng)r變化時(shí)，甲乙兩位同學(xué)均證明出為定值甲同學(xué)的方法為：連接AP，AQ，AO，利用兩個(gè)小三角形中的余弦定理來(lái)推導(dǎo)；乙同學(xué)的方法為；以O為原點(diǎn)建立合適的直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法來(lái)計(jì)算.請(qǐng)?jiān)诩滓覂晌煌瑢W(xué)的方法中選擇一種來(lái)證明該結(jié)論，定值用含m、n的式子表示.（若用兩種方法，按第一種方法給分）

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）計(jì)算出圓與邊、邊相切時(shí)的半徑，從而得到滿足要求的r的取值范圍；

（2）甲同學(xué)方法：連接，，，利用余弦定理，表示出、，然后通過(guò)計(jì)算，得到，乙同學(xué)方法：以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，將用坐標(biāo)表示，通過(guò)計(jì)算，得到.

（1）因?yàn)?/span>，故當(dāng)圓與邊相切時(shí)，

此時(shí)圓與的三邊共有3個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)圓與邊相切時(shí)，，

此時(shí)圓與的三邊共有5個(gè)交點(diǎn)，

故當(dāng)時(shí)，圓與的三邊共有4個(gè)交點(diǎn).

（2）甲同學(xué)方法：連接，，，

在中，由余弦定理可得：①

在中，由余弦定理可得：②

由，得，

又，

故①②得：，

故

乙同學(xué)方法：以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，

易知

設(shè)點(diǎn)，則

．