Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx(a，b∈R)
（1）若x₁=-2和x₂=4為函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a-b的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用x₁=-2和x₂=4為函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)，可得f′（-2）=0，f′（4）=0，建立方程，即可求得函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，可知x²+ax-b≤0在區(qū)間[-1，3]上恒成立，從而可得不等式，再將a-b用結(jié)論線性表示，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=x²+ax-b
∵x₁=-2和x₂=4為函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)，
∴-2+4=-a，（-2）×4=-b
∴a=-2，b=8
∴f(x)=

1

3

x3-x2-8x，f′（x）=x²-2x-8；
（2）由f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，可知x²+ax-b≤0在區(qū)間[-1，3]上恒成立
∴

1-a-b≤0 9+3a-b≤0

，∴

a+b≥1 3a-b≤-9

令a-b=m（a+b）+n（3a-b），則

m+3n=1 m-n=-1

，∴

m=- 1 2 n= 1 2

∴-

1

2

（a+b）+

1

2

（3a-b）≤-5
∴a-b≤-5
∴a-b的最大值為-5．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．