Question

6．設(shè)f_°（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*），則f₂₀₁₁（x）=（　�。�

• A． cosx
• B． -sinx
• C． -cosx
• D． sinx

Answer 1

分析 由已知，f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，f₃（x）=f₂′（x）=sinx，f₄（x）=f₃′（x）=cosx，發(fā)現(xiàn)f_n（x）以4為周期，結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，利用此規(guī)律將n=2011轉(zhuǎn)化為n=3的情況求解．

解答 解：∵f₀（x）=cosx，
∴f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，
f₃（x）=f₂′（x）=sinx，
f₄（x）=f₃′（x）=cosx
…
從第五項(xiàng)開始，f_n（x）的解析式重復(fù)出現(xiàn)，每4次一循環(huán)．
∴f₂₀₁₁（x）=f_4×502+3（x）=f₃（x）=sinx，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算，由于f₂₀₁₁（x）中下標(biāo)數(shù)值2011較大，所以探究f_n（x）的周期性成為必要與自然，屬于基礎(chǔ)題．