Question

20．已知函數(shù)f（x）滿足其導函數(shù)f′（x）=1-πsinπx，且f（1）=-2，則f（$\frac{1}{2016}$）十f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2014}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$），的值為（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． $\frac{6045}{2}$
• D． -$\frac{6045}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件可得f（x）=x+cosπx-2，該函數(shù)滿足f（x）+f（1-x）=[x+cosπx-2]+[1-x+cos（π-πx）-2]=-3，再用倒序相加法求和．

解答 解：∵f'（x）=1-πsinπx，
∴可設(shè)f（x）=x+cosπx+C，其中C為常數(shù)，
由于f（1）=-2，所以C=-2，
即f（x）=x+cosπx-2，
又f（x）+f（1-x）=[x+cosπx-2]+[1-x+cos（π-πx）-2]=-3，
記A=f（$\frac{1}{2016}$）十f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2014}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$），
則A=f（$\frac{2015}{2016}$）十f（$\frac{2014}{2016}$）+f（$\frac{2013}{2016}$）+…+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{1}{2016}$），
兩式相加（倒序相加）得，2A=2015×（-3），
所以，A=-$\frac{6045}{2}$，
故選：D．

點評 本題主要考查了導數(shù)的運算，三角函數(shù)的恒等變換，以及運用倒序相加法求和，屬于中檔題．