Question

如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線的斜率；

（2）記△的面積為，△（為原點(diǎn)）的面積為．試問：是否存在直線，使得？說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）不存在直線，使得

【解析】

試題分析：（Ⅰ）解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)其方程為．

將其代入，整理得 ．

設(shè)，，所以 ．     3分

故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．依題意，得，

解得 ．          5分

（Ⅱ）解：假設(shè)存在直線，使得 ，顯然直線不能與軸垂直．

由（Ⅰ）可得 ．               6分

因?yàn)?，所以 ，

解得 ， 即 ．        8分

因?yàn)?△∽△，所以 ．

所以 ，     10分

整理得 ．

因?yàn)榇朔匠虩o解，所以不存在直線，使得 ．        12分

考點(diǎn)：直線與橢圓相交的位置關(guān)系

點(diǎn)評：直線與橢圓相交時(shí)常聯(lián)立方程借助于方程根與系數(shù)的關(guān)系整理化簡，此類題目計(jì)算量較大要求學(xué)生具有較高的數(shù)據(jù)處理能力