Question

已知橢圓兩焦點(diǎn)F₁、F₂在y軸上，短軸長為2

2

，離心率為

2

2

，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且

PF1

•

PF2

=1，過P作關(guān)于直線F₁P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證直線AB的斜率為定值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意可知b，進(jìn)而根據(jù)離心率和a，b和c的關(guān)系求得a和c，則橢圓的方程可得．進(jìn)而求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別表示出

PF 1

和

PF 2

，進(jìn)而根據(jù)

PF1

•

PF2

=1求得x₀和y₀的關(guān)系式，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程求和另一個關(guān)系式，聯(lián)立方程求得x₀和y₀即P的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)（1）可知PF₁∥x軸，設(shè)PB的斜率為k，根據(jù)點(diǎn)斜式表示出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立消去y，設(shè)出B的坐標(biāo)，根據(jù)題意可求得x_B的表達(dá)式，同理求得x_A的表達(dá)式，進(jìn)而可知x_A-x_B的表達(dá)式，根據(jù)直線方程求得y_A-y_B，進(jìn)而根據(jù)斜率公式求得直線AB的斜率，結(jié)果為定值．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意可得b=

2

，

c

a

=

2

2

，即a=

2

c，
∵a²-c²=2
∴c=

2

，a=2
∴橢圓方程為

x2

2

+

y2

4

=1
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

2

），（0，-

2

），設(shè)p（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）
則

PF1

=（-x₀，

2

-y₀），

PF2

=（-x₀，-

2

-y₀），
∴

PF1

•

PF2

=x₀²-（2-y₀²）=1
∵點(diǎn)P在曲線上，則

y02

4

+

x02

2

=1
∴x₀²=

4- y 2 0

2

，
從而

4- y 2 0

2

-（2-y₀²）=1，得y₀=

2

，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

2

）

（2）由（1）知PF₁∥x軸，直線PA，PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB的斜率為k（k＞0），
則PB的直線方程為y-

2

=k（x-1），由

y- 2 =k(x-1) x2 2 + y2 4 =1

得
（2+k²）x²+2k（

2

-k）x+（

2

-k²）-4=0
設(shè)B（x_B，y_B），則x_B=

2k(k- 2)

2+k2

-1=

k2 -2 2 k-2

2+k2

，
同理可得xA=

k2+2 2 k-2

2+k2

，則xA-xB=

4 2 k

2+k2

，
y_A-y_B=-k（x_A-1）-k（x_B-1）=

8k

2+k2

所以AB的斜率k_AB=

yA-yB

xA-xB

=

2

為定值．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線與橢圓的關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．