Question

11．如圖，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC為等邊三角形，PE∥CB，M，N分別是線段AE，AP上的動點，且滿足：$\frac{AM}{AE}$=$\frac{AN}{AP}$=λ（0＜λ＜1）．
（1）求證：MN∥平面ABC；
（2）當λ=$\frac{1}{2}$時，求證：面CMN⊥面APE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理證明MN∥BC即可證明MN∥平面ABC；
（2）當λ=$\frac{1}{2}$時，根據(jù)面面垂直的判定定理證明CN⊥面APE即可證明面CMN⊥面APE．

解答 （1）證明：由M，N分別是線段AE，AP上的動點，且在△APE中，$\frac{AM}{AE}=\frac{AN}{AP}=λ$（0＜λ＜1），得MN∥PE，
又依題意PE∥BC，
∴MN∥BC．
∵MN?平面ABC，BC?平面ABC，
∴MN∥平面ABC．                 
（2）解：由已知平面PAC⊥平面ABC，
AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥CN，
即BC⊥PE． …（9分）
在等邊三角形PAC中，
∵λ=$\frac{1}{2}$，∴CN⊥PA，
∴CN⊥面APE，
∴面CMN⊥面APE…（12分）

點評 本題主要考查空間直線和平面平行以及平面和平面垂直的判定，要求熟練掌握相應的判定定理．