Question

在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且.

(Ⅰ)求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓：+=1上；

(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為，求證：直線MN過定點.

 

Answer 1

【答案】

詳見解析；直線MN過定點(0,-3).

【解析】

試題分析：先計算出E、R、G、R′各點坐標，得出直線ER與GR′的方程，解得其交點坐標 代入滿足橢圓方程即可; 先討論直線MN的斜率不存在時的情況，在討論斜率存在時，用斜截式設出直線MN方程.與橢圓方程聯(lián)立，用“設而不求”的方法通過韋達定理得出b為定值-3.從而證明出MN過定點（0，-3）.

試題解析：（Ⅰ）∵，∴，              1分

又   則直線的方程為       ①          2分

又  則直線的方程為          ②          3分

由①②得                                        4分

   

     5分

∴直線與的交點在橢圓上  6分

（Ⅱ）① 當直線的斜率不存在時，設

則  ∴ ,不合題意      8分

② 當直線的斜率存在時，設 

聯(lián)立方程  得

則 ，

   10分

又

 即

將代入上式得       13分

∴直線過定點                                        14分

考點：1.直線的方程；2.解析幾何；3.韋達定理.