Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x。
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域T；
（2）是否存在實數(shù)a，對任意給定的集合T中的元素t，在區(qū)間[1，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=t成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）函數(shù)f（x）圖像上是否存在兩點A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），使得割線AB的斜率恰好等于函數(shù)f（x）在AB中點M（x₀，y₀）處切線斜率？請寫出判斷過程。

Answer 1

解：（1）∵，
∴g（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，e）上單調(diào)遞減，且
∴g（x）的值域T為；
（2）則由（1）可得t∈（0，1]，原問題等價于：對任意的在[1，e]上總有兩個不同的實根，故f（x）在[1，e]不可能是單調(diào)函數(shù)，
∵
當時，，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，不合題意
當時，，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，不合題意，
當即時，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減；f（x）在區(qū)間上單遞增，由上可得，此時必有f（x）的最小值小于等于0且f（x）的最大值大于等于1，
而由可得，則a∈，
綜上，滿足條件a的不存在；
（3）
而，故有，
即，令，則上式化為，
令，則由可得F（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，故，即方程無解，所以不存在。