Question

（08年衡陽八中文）（12分）

如圖，“雙塔”形立體建筑的基本單元可近似地按以下方法構作：先在地平面內作菱形ABCD，邊長為1，∠BAD＝60°，再在面的上方，分別以△與△為底面安裝上相同的正棱錐P-ABD與Q-CBD，∠APB＝90°．

（1）求證：；

（2）求PB與平面ACQP所成的角；   

（3）求點P到平面QBD的距離；

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）作PM⊥平面，垂足為M，作QN⊥平面，垂足為N，則PM∥QN，由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱錐知M、N分別是正△ABD與正△BCD的中心，從而點A、M、E、N、C共線，且PMNQ為矩形．

∴PQ‖AC    ∴                        ……………………4分

（2）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱錐，可知△PBD與△QBD是全等等腰△．取BD中點E，連結PE、QE，則BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，從而∠BPE是PB與平面ACQP所成的角，由（1）可得ME＝NE＝，PE＝QE＝，PB＝，

∴　cos∠PEQ＝，

即PB與平面ACQP所成的角為．……………………8分

（3）　由（1）知BD⊥平面PEQ．作PFQE于F，則點P到平面QBD的距離為PF的長，則

 

∴　點P到平面QBD的距離為．      ……………12分