Question

（本小題滿分15分）

如圖為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁切去一個三棱錐B₁—A₁BC₁后得到的幾何體．

（1） 畫出該幾何體的正視圖；

（2） 若點O為底面ABCD的中心，求證：直線D₁O∥平面A₁BC₁；

（3）_． 求證：平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．

Answer 1

（1）略（2）略 （3）略

分析：本題主要考查立體幾何中的主干知識，如線面平行、面面垂直及三視圖等基礎知識，考查空間想象能力與思維能力。解題的關鍵是還原正方體，本題屬中等題。

解析:

（1）該幾何體的正視圖為：-----------3分

（2）將其補成正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，設B₁D₁和A₁C₁交于點O₁，連接O₁B，

依題意可知，D₁O₁∥OB，且D₁O₁=OB，即四邊形D₁OB O₁為平行四邊形------7分

則D₁O∥O₁B，因為BO₁平面BA₁C₁，D₁O平面BA₁C₁，所以有直線D₁O∥平面BA₁C₁； ---9分

（3）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，

則DD₁⊥A₁C₁，-------11分另一方面，B₁D₁⊥A₁C₁，-----13分

 又∵DD₁∩B₁D₁= D₁，∴A₁C₁⊥平面BD₁D，

∵A₁C₁平面A₁BC₁，則平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．----15分