Question

1．在一次招聘中，主考官要求應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，并獨立完成所抽取的3道題．甲能正確完成其中的4題，乙能正確完成每道題的概率為$\frac{2}{3}$，且每道題完成與否互不影響，規(guī)定至少正確完成2道題便可過關．
（1）記所抽取的3道題中，甲答對的題數(shù)為X，求X的分布列和期望；
（2）記乙能答對的題數(shù)為Y，求Y的分布列、期望和方差．

Answer 1

分析 （1）由題意得X的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望．
（2）由題意Y的可能取值為0，1，2，3，且Y～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出Y的分布列、期望和方差．

解答 解：（1）主考官要求應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，并獨立完成所抽取的3道題．
甲能正確完成其中的4題，所抽取的3道題中，甲答對的題數(shù)為X，
由題意得X的可能取值為1，2，3，
$P（X=1）=\frac{C_4^1C_2^2}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，
$P（X=2）=\frac{C_4^2C_2^1}{C_6^3}=\frac{3}{10}$，
$P（X=3）=\frac{C_4^3C_2^0}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	0.2	0.3	0.2

E（X）=0.2+0.6+0.6=1.4．…（6分）
（2）主考官要求應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，并獨立完成所抽取的3道題，
乙能正確完成每道題的概率為$\frac{2}{3}$，且每道題完成與否互不影響，
由題意Y的可能取值為0，1，2，3，且Y～B（3，$\frac{2}{3}$），
P（Y=0）=$（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（Y=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（Y=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{12}{27}$，
P（Y=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，
∴Y的分布列為：

Y	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

E（Y）=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{6}{27}+2×\frac{12}{27}+3×\frac{8}{27}$=2，
D（Y）=（0-2）²×$\frac{1}{27}$+（1-2）²×$\frac{6}{27}$+（2-2）²×$\frac{12}{27}$+（3-2）²×$\frac{8}{27}$=$\frac{2}{3}$．…（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望和方差的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．