Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x-y-2=0，拋物線C：y2=2px(p＞0).

（1）若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；
（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.
①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2-p ， -p）；
②求p的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）

解： ， 與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

即拋物線的焦點(diǎn)為 ，

（2）

解：① 設(shè)點(diǎn) ，

則： ，即 ，

又 關(guān)于直線 對(duì)稱，

即 ，

又 中點(diǎn)一定在直線 上

線段 上的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ；

② 中點(diǎn)坐標(biāo)為

即

，即關(guān)于 有兩個(gè)不等根

， ，

【解析】（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解拋物線方程．（2）：①設(shè)點(diǎn)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），通過(guò)拋物線方程，求解kPQ ， 通過(guò)P，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)的kPQ=﹣1，推出 ，PQ的中點(diǎn)在直線l上，推出 =2﹣p，即可證明線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2﹣p，﹣p）；②利用線段PQ中點(diǎn)坐標(biāo)（2﹣p，﹣p）．推出 ，得到關(guān)于y2+2py+4p2﹣4p=0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，列出不等式即可求出p的范圍．