Question

已知正項數列滿足：對任意正整數，都有成等差數列，成等比數列，且

（Ⅰ）求證：數列是等差數列；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

(Ⅲ) 設如果對任意正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）由已知，得 ①，   ② .    由②得  ③.

將③代入①得，對任意，有

即

是等差數列.                                                         4分

（Ⅱ）設數列的公差為，

由經計算，得

                                         9分

（Ⅲ）由（1）得

 

不等式化為

即

設，則對任意正整數恒成立．

當，即時，不滿足條件；

當，即時，滿足條件；

當，即時，的對稱軸為，關于遞減，

因此，只需 解得

綜上，                                                     14分