Question

橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為2，相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c，0)(c＞0)的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|＝2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．

(1)求橢圓的方程及離心率；

(2)若·＝0，求直線PQ的方程；

(3)設(shè)＝λ(λ＞1)，過(guò)點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明＝－λ．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞)． 　　由已知得 　　解得a＝，c＝2 　　所以橢圓的方程為＋＝1，離心率e＝． 　　(2)解：由(1)可得A(3，0)． 　　設(shè)直線PQ的方程為y＝k(x－3)．由方程組 　　 　　得(3k2＋1)x2－18k2x＋27k2－6＝0 　　依題意Δ＝12(2－3k2)＞0，得－＜k＜． 　　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則 　　x1＋x2＝，　�、佟　�x1x2＝．　　② 　　由直線PQ的方程得y1＝k(x1－3)，y2＝k(x2－3)．于是 　　y1y2＝k2(x1－3)(x2－3)＝k2[x1x2－3(x1＋x2)＋9]． 　　∵||·||＝0，x1x2＋y1y2＝0．　�、� 　　由①②③④得5k2＝1，從而k＝±∈(－，)． 　　所以直線PQ的方程為x－y－3＝0或x＋y－3＝0 　　(2)證明：＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)．由已知得方程組 　　注意λ＞1，解得x2＝． 　　因F(2，0)，M(x1，－y1)，故＝(x1－2，－y1)＝(λ·(x2－3)＋1，－y1)＝(，－y1)＝－λ(，y2)． 　　而＝(x2－2，y2)＝(，y2)，所＝－λ． 　　分析：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計(jì)算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．