Question

【題目】已知函數(shù)

當時，討論的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)；

當時，函數(shù)的圖象恒在圖象上方，求正整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當時，在存在唯一零點；當時，在沒有零點（2）

【解析】

（1）首先求，令，然后求，討論當時，，判斷函數(shù)的單調(diào)性和端點值，判斷函數(shù)是否有零點；當時，同樣是判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合零點存在性定理，可判斷函數(shù)是否存在零點；（2）由，參變分離求解出在上恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值.

解：（1）.

令，，則,

①當時，當，，單調(diào)遞減，又，所以對時，，此時在不存在零點.

②當時，當，，單調(diào)遞減.

又因為，取，

則，即.

根據(jù)零點存在定理，此時在存在唯一零點.

綜上，當時，在存在唯一零點；當時，在沒有零點.

（2）由已知得在上恒成立.

設(shè)，，則

因為時，所以，

設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，

又，，由零點存在定理，使得，即,，

且當時，，，單調(diào)遞減；當時，，，單調(diào)遞增.

所以，

又在上單調(diào)遞減，而，所以，

因此，正整數(shù)的最大值為.