Question

定義在R上的非零函數(shù)f（x）對于任意實數(shù)m，n總有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x ）＜1．
（1）試求f（0）的值；
（2）求證：f（x）的值恒為正；
（3）判斷f（x）的單調(diào)性并證明結(jié)論．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令m=1，n=0，結(jié)合非零函數(shù)f（x）對于任意實數(shù)m，n總有f（m+n）=f（m）•f（n），可求出f（0），
（2）由（1）可得當x＞0時，0＜f（x ）＜1，當x=0時，f（0）=1，當x＜0時，-x＞0，由f（x+（-x））=f（0）=f（x）•f（-x），可得f（x ）＞1，進而得到結(jié)論；
（3）當x＜0時，-x＞0，則0＜f（-x）＜1⇒f（x）=

1

f(-x)

＞0，故對任意x₁＞x₂，

f(x1)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1，即f（x₁）＜f（x₂），根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=1，n=0，則f（1）=f（1）f（0），
又∵當x＞0時，0＜f（x ）＜1，
∴0＜f（1）＜1，
故f（0）=1，
證明：（2）當x＞0時，0＜f（x ）＜1，
當x=0時，f（0）=1，
當x＜0時，-x＞0，
f（x+（-x））=f（0）=f（x）•f（-x），
故f（x ）＞1，
綜上所述：f（x）＞0恒成立，
故f（x）的值恒為正；
（3）解：當x＜0時，-x＞0，則0＜f（-x）＜1⇒f（x）=

1

f(-x)

＞0，
即對任意x∈R都有f（x）＞0，
對于任意x₁＞x₂，

f(x1)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1⇒f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在R上為減函數(shù)．

點評：抽象函數(shù)求某點的函數(shù)值，通常采取賦值法解決；對于抽象函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性的判定，一般采取定義解決，此題難度較大，綜合性強，屬難題．