Question

如圖，在直三棱柱中，，．

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)若為的中點(diǎn)，求與平面所成的角．

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）所成的角為．

試題分析：本題主要考查空間線(xiàn)、面位置關(guān)系，線(xiàn)面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力.第一問(wèn)，先利用正方形得對(duì)角線(xiàn)互相垂直，再利用線(xiàn)面垂直得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理得到線(xiàn)面垂直平面；第二問(wèn)，先由已知條件判斷是正三角形，由第一問(wèn)的結(jié)論可知，是與平面所成的角，在直角中，得出，所以，即與平面所成的角為．
試題解析：(Ⅰ) 由題意知四邊形是正方形，故．
由平面，得．
又，所以平面，故．
從而得平面．        7分
(Ⅱ)設(shè)與相交于點(diǎn)，則點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)．
連接，由題意知是正三角形．
由，是的中線(xiàn)知：與的交點(diǎn)為重心，連接．
由(Ⅰ)知平面，故是在平面上的射影，于是是與平面所成的角．
在直角中，， ，
所以．
故，即與平面所成的角為．    15分