Question

【題目】已知，是橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，直線的斜率為，且到直線的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）為橢圓上任意一點(diǎn)，過，分別作直線，，且與相交于軸上方一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)間距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)出的方程，根據(jù)其斜率以及點(diǎn)到直線的距離，即可列出方程，求得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，得到，從而求得點(diǎn)的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為求一點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)距離的最大值，則問題得解.

解：（1）由題意，可知，，．

∴①．

∵直線的方程為，即．

∴由題意有②．

又③．

由①②③得，，．

∴橢圓的方程為．

（2）由（1）可知：，．

設(shè)，且．

則當(dāng)，都不垂直于軸時(shí)，，．

∵，

∴．

∴．

化簡，得．

當(dāng)或垂直于軸時(shí)，得，也滿足上式．

∴點(diǎn)的軌跡方程為．

∴當(dāng)與圓心距離最大時(shí)，，兩點(diǎn)間距離取得最大值．

∵

．

又∵，

∴．

∴，兩點(diǎn)間距離的最大值為．