Question

已知函數(shù) (為實常數(shù)) 

 （1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值；

（2）當(dāng)時，討論方程根的個數(shù)

（3）若，且對任意的，都有，求實數(shù)a的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時；（2）當(dāng)時，方程有2個相異的根；當(dāng) 或時，方程有1個根；當(dāng)時，方程有0個根；（3） 

【解析】

試題分析：(1) 利用導(dǎo)數(shù)求解極值點，然后確定單調(diào)性，分析最值；(2)把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而求最值，然后分析交點的情形即根的情形；（3）通過對函數(shù)單調(diào)性的分析，可得導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上大于零恒成立問題，然后轉(zhuǎn)化為最值求解

試題解析：（1），

當(dāng)時， 當(dāng)時，，

又，

故，當(dāng)時，取等號         4分

（2）易知，故，

方程根的個數(shù)等價于時，方程根的個數(shù)。

設(shè)=，

當(dāng)時，，函數(shù)遞減，

當(dāng)時，，函數(shù)遞增。

又，，作出與直線的圖像，由圖像知：

當(dāng)時，即時，方程有2個相異的根；

當(dāng) 或時，方程有1個根；

當(dāng)時，方程有0個根；                10分

（3）當(dāng)時，在時是增函數(shù)，又函數(shù)是減函數(shù)，不妨設(shè)，則等價于

即，故原題等價于函數(shù)在時是減函數(shù)，

恒成立，即在時恒成立。

在時是減函數(shù)               16分

（其他解法酌情給分）

考點：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值