Question

數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且S₉=135，a₃、a₄、a₁₂成等比數(shù)列，
(1)求{a_n}的通項(xiàng)公式；
(2)是否存在正整數(shù)m，使仍為數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)？若存在，求出滿(mǎn)足要求的所有正整數(shù)m；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：(1)設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，則，
∴，①
又∵a₃、a₄、a₁₂成等比數(shù)列，
∴，即，
化簡(jiǎn)，得，②
由①②，得：，
∴。
(2)由于，
∴，
設(shè)，則，
即，
由于k、m為正整數(shù)，所以7必須能被7m-13整除，
∴7m-13=1，-1，7，-7，
∴m=2，k=10，
故存在唯一的正整數(shù)m=2，使仍為數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)．