Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）動(dòng)直線與橢圓C相交于點(diǎn)M，N，橢圓C的左右頂點(diǎn)為,直線與相交于點(diǎn)，證明點(diǎn)在定直線上，并求出定直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2)證明見解析，定直線方程為。

【解析】

（1）利用離心率公式，可知a，c的關(guān)系，利用，可知a,b的關(guān)系，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，代入橢圓方程，又得到一個(gè)方程，二個(gè)方程聯(lián)立，即可求出橢圓方程。

（2）由橢圓的性質(zhì)可以判斷點(diǎn)G在直線上，先考慮特殊情況，求出點(diǎn)G在上，再考慮一般情況，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，最后可以驗(yàn)證點(diǎn)G在上。

(1)離心率為，即，而所以 ①，橢圓經(jīng)過點(diǎn).

所以②，由①②聯(lián)立方程組，解得，

所以橢圓的方程為

(2)由橢圓的對(duì)稱性可知點(diǎn)G一定在上，假設(shè)直線過橢圓的上頂點(diǎn)，則M，

，顯然直線 過定點(diǎn)（4，0）所以，橢圓方程與直線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為

兩方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)，所以G在定直線上。

當(dāng)M不是橢圓頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)

橢圓方程與直線聯(lián)立消去y，整理得

所以有

當(dāng)時(shí)，把 代入整理得：

所以有顯然成立，

所以G在定直線上。