Question

已知函數(shù)f(x)＝ex，x∈R.

(1)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切，求實(shí)數(shù)k的值；

(2)設(shè)x>0，討論曲線y＝f(x)與曲線y＝mx2(m>0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

 

Answer 1

（1）k＝（2）若0<m<，曲線y＝f(x)與y＝mx2沒(méi)有公共點(diǎn)；若m＝，曲線y＝f(x)與y＝mx2有一個(gè)公共點(diǎn)；若m>，曲線y＝f(x)與y＝mx2有兩個(gè)公共點(diǎn)

【解析】(1)f(x)的反函數(shù)為g(x)＝ln x.

設(shè)直線y＝kx＋1與g(x)＝ln x的圖像在P(x0，y0)處相切，則有y0＝kx0＋1＝ln x0，k＝g′(x0)＝，

解得x0＝e2，k＝.

(2)曲線y＝ex與y＝mx2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)等于曲線y＝與直線y＝m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．

令φ(x)＝，則φ′(x)＝，∴φ′(2)＝0.

當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，φ′(x)<0，φ(x)在(0，2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．

∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值為φ(2)＝.

綜上所述，當(dāng)x>0時(shí)，大致圖像如圖所示，

若0<m<，曲線y＝f(x)與y＝mx2沒(méi)有公共點(diǎn)；

若m＝，曲線y＝f(x)與y＝mx2有一個(gè)公共點(diǎn)；

若m>，曲線y＝f(x)與y＝mx2有兩個(gè)公共點(diǎn)