Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}-k（\frac{2}{x}+lnx）$（k為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)k≤0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個極值點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由于x＞0，k≤0，可得e^x-kx＞0，分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出x的取值范圍即可．
（2）函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個極值點，?f′（x）=0有兩個實數(shù)根．化為k=$\frac{{e}^{x}}{x}$，因此k=$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，2）內(nèi)存在兩個實數(shù)根．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值和最值即可．

解答 解：（1）當(dāng)k≤0時，函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}-k（\frac{2}{x}+lnx）$（x＞0）．
f′（x）=$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$-k（-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$）=$\frac{（x-2）（{e}^{x}-kx）}{{x}^{3}}$，
由于x＞0，k≤0，可得e^x-kx＞0，
令f′（x）＞0，解得x＞2．令f′（x）＜0，解得0＜x＜2．
∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；在（0，2）上單調(diào)遞減；
（2）∵函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個極值點，
∴f′（x）=$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$-k（-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$）=0有兩個實數(shù)根．
化為k=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴k=$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，2）內(nèi)存在兩個實數(shù)根．
設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，x∈（0，2）．則h′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$．
令h′（x）=0，解得x=1．
令h′（x）＞0，解得1＜x＜2；令h′（x）＜0，解得0＜x＜1．
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)h（x）取得極小值即最小值，h（1）=e．
而h（2）=$\frac{{e}^{2}}{2}$，h（0）→+∞．
∴e＜k＜$\frac{{e}^{2}}{2}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了方程的實數(shù)根等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．