Question

已知實數(shù)c≥0，曲線C：y=與直線l:y=x-c的交點為P（異于原點O），在曲線C上取一點P₁（x₁,y₁），過點P₁作P₁Q₁平行于x軸，交直線l于點Q₁，過點Q₁作Q₁P₂平行于y軸，交曲線C于點P₂（x₂,y₂）,接著過點P₂作P₂Q₂平行于x軸，交直線l于點Q₂，過點Q₂作直線Q₂P₃平行于y軸，交曲線C于點P₃（x₃,y₃），如此下去，可以得到點P₄(x₄,y₄),P₅(x₅,y₅),…，P_n(x_n,y_n),….設(shè)點P的坐標為(a,),x₁=b,0＜b＜a.

(Ⅰ)試用c表示a，并證明a≥1;

(Ⅱ)試證明x₂＞x₁,且x_n＜a(n∈N^*);

(Ⅲ)當c=0,b≥時，求證：＜(k,n∈N^*).

Answer 1

解：（Ⅰ）點P的坐標（a,）滿足方程組,所以=a-c,

    解a--c=0,得=,所以a=(1+2c+)

    因為c≥0,所以1+2c+≥2,所以a≥1.

(Ⅱ)由已知P₁（b,）,Q₁（+c,）,P₂(+c,).

    即x₁=b,x₂=+c.

x₂-x₁=+c-b,由（Ⅰ）c=a-.

    所以x₂-x₁=+a--b=()(),

    因為0＜b＜a,a≥1,所以x₂＞x₁.

    下面用數(shù)學(xué)歸納法證明x_n＜a(n∈N^*).

    當n=1時，x₁=b＜a;

    假設(shè)當n=k時，x_k＜a,由已知x_k+1=y_k+c,x_k＞0,

    所以,x_k+1=+c=+a-＜a.

    綜上，x_n＜a(n∈N^*).

(Ⅲ)當c=0時，≤b＜a=1,x_n+1=y_n=(n∈N^*).

    所以x_n===…==

    因為b≥,所以當k≥1時，x_k+2≥x₃≥,所以，≤.

    又x_k+1-x_k=-＞0.

    所以≤b=x₁≤x_n＜a=1,x_n-x₁＜1-=,

    所以，≤=(x_n+1-x₁)＜.