Question

已知整數數集 A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}（a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，n≥3）具有性質 P：對任意i，j，k（1≤i＜j＜k），a_i+a_k-a_j∈A．
（Ⅰ）請舉出一個滿足上述條件且含有5個元素的數集 A；
（Ⅱ）求證：a₁，a₂，a₃，…，a_n是等差數列；
（Ⅲ）已知a₁=2，a_n=2015，且20∈A⊆N，求數集 A中所有元素的和的最小值．

Answer 1

考點：數列的應用

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）5個元素能構成等差數列即可；
（Ⅱ）a_k+a_k+2-a_k+1∈A且a_k＜a_k+a_k+2-a_k+1＜a_k+2，可得a_k+1=a_k+a_k+2-a_k+1，即可證明結論；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，2，a₂，a₃，…，2015是等差數列，確定d是18和2013的公約數，利用求和公式，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：由題意A={1，2，3，4，5}；
（Ⅱ）證明：對任意k+2≤n，由性質P可得a_k+a_k+2-a_k+1∈A，
∵a_k＜a_k+1＜a_k+2，
∴a_k+a_k+2-a_k+1∈A且a_k＜a_k+a_k+2-a_k+1＜a_k+2，
∴a_k+1=a_k+a_k+2-a_k+1，
∴2a_k+1=a_k+a_k+2，
∴a₁，a₂，a₃，…，a_n是等差數列；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，2，a₂，a₃，…，2015是等差數列，
不妨設公差為d，a_k=20，
則20-2=（k-1）d，2015-2=（n-1）d，
∵A⊆N，
∴d是18和2013的公約數，
由等差數列求和公式可得S_n=

2+2015

2

×n=

2+2015

2

×(

2013

d

+1)，
∴d越大，S_n越小，
∴d為18和2013的最大公約數3時，S_n最小，最小為677712．

點評：本題考查數列的應用，考查學生對新定義的理解，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．