Question

已知函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在點(diǎn) 處的切線斜率為.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2） 求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（Ⅲ）若函數(shù)的圖像上存在兩點(diǎn)，使得對于任意給定的正實(shí)數(shù)都滿足是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且三角形斜邊中點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（Ⅲ）點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．

試題分析：（1）求實(shí)數(shù)的值求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率是，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及當(dāng)時(shí)，，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得，，依題意，可求出，又因?yàn)閳D象過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即可求得實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，當(dāng)時(shí)，，對函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)，令，解出的值，確定函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算導(dǎo)數(shù)等零點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值，從而可得函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（Ⅲ）設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033346665417.png" style="vertical-align:middle;" />中點(diǎn)在軸上，所以，根據(jù)，可得，分類討論，確定函數(shù)的解析式，利用，即可求得結(jié)論．
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，
依題意，
又   故              3分
（2）當(dāng)時(shí)，
令有，故在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增；
在單調(diào)遞減．又,
所以當(dāng)時(shí)，          6分
（Ⅲ）設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033346665417.png" style="vertical-align:middle;" />中點(diǎn)在軸上，所以
又  ①
（�。┊�(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故①不成立  7分
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，代人①得：
，
無解                                  8分
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，代人①得：
   ②
設(shè)，則是增函數(shù).
的值域是．               10分
所以對于任意給定的正實(shí)數(shù)，②恒有解，故滿足條件．
（ⅳ）由橫坐標(biāo)的對稱性同理可得，當(dāng)時(shí)，
，代人①得：
 ③
設(shè)，令，則由上面知
的值域是的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033347460529.png" style="vertical-align:middle;" />.
所以對于任意給定的正實(shí)數(shù)，③恒有解，故滿足條件。      12分
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為                14分