Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，2a_n=1+S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}為等比數列；
（Ⅱ）求數列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知，令n=1可求a₁，利用n≥2時，a_n=s_n-s_n-1可得a_n=2a_n-1可證；
（Ⅱ）根據等比數列的通項公式求出求出a_n，再利用錯位相減法即可求數列{na_n}的前n項和T_n．

解答： 證明：（Ⅰ）當n=1時，2a₁=1+S₁，解得a₁=1，
當n≥2時，2a_n=1+S_n，2a_n-1=1+S_n-1，
兩式相減得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
所以數列{a_n}是以1為首項、2為公比的等比數列；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a_n=2^n-1，則na_n=n•2^n-1，
所以T_n=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1 ①，
2T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ ②，
①-②得-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
所以T_n=（n-1）2ⁿ+1．

點評：本題考查數列中a_n與S_n關系式的應用，定義法判斷數列是等比數列，以及利用錯位相減法求數列的和，是常考的題型．