Question

設a＞0，函數f（x）=

ax+b

x2+1

，b為常數．
（1）證明：函數f（x）的極大值點和極小值點各有一個；
（2）若函數f（x）的極大值為1，極小值為-1，試求a的值．

Answer 1

分析：（1）令f′（x）=0得到ax²+2bx-a=0根據根的判別式得到方程有兩個不相等的實根設為x₁，x₂（x₁＜x₂），討論函數的增減性得到函數的極大值和極小值各有一個；
（2）因為函數f（x）的極大值為1，極小值為-1，所以將x₁，x₂（x₁＜x₂）代入到函數關系式中得到兩個式子，根據根與系數的關系化簡可得a的值．

解答：解：（1）證明f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，
令f′（x）=0，得ax²+2bx-a=0（*）
∵△=4b²+4a²＞0，
∴方程（*）有兩個不相等的實根，記為x₁，x₂（x₁＜x₂），
則f′（x）=

-a(x-x1)(x-x2)

(x2+1)2

，
當x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

可見，f（x）的極大值點和極小值點各有一個．
（2）解：由（1）得

f(x1)= ax1+b x12+1 =-1 f(x2)= ax2+b x22+1 =1

即

ax1+b=-x12-1 ax2+b=x22+1

兩個方程左右兩邊相加，得a（x₁+x₂）+2b=x₂²-x₁²．
∵x₁+x₂=-

2b

a

，∴x₂²-x₁²=0，
即（x₂+x₁）（x₂-x₁）=0，
又x₁＜x₂，
∴x₁+x₂=0，從而b=0，
∴a（x²-1）=0，得x₁=-1，x₂=1，代入得a=2．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及靈活運用一元二次方程根的判別式和根與系數的關系解決數學問題的能力．