Question

13．把一顆骰子投擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b．已知方程組$\left\{\begin{array}{l}ax+by=2\\ 2x+y=3\end{array}\right.$．
（Ⅰ）求方程組只有一個(gè)解的概率；
（Ⅱ）若方程組每個(gè)解對(duì)應(yīng)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，y），求點(diǎn)P落在第四象限的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用列舉法求出基本事件空間Ω，設(shè)方程組只有一個(gè)解為事件A，則事件A的對(duì)立事件是方程組無解，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出方程組只有一個(gè)解的概率．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P落在第四象限為事件B，利用列舉法求出符合條件的數(shù)組的個(gè)數(shù)，由此能求出點(diǎn)P落在第四象限的概率．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）把一顆骰子投擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b，
則基本事件空間Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），
（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），
（5，2），（5，3），（5，4）（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），
（6，5），（6，6）}共有36種，（2分）
設(shè)方程組只有一個(gè)解為事件A，則事件A的對(duì)立事件是方程組無解，
若方程組無解，則兩線平行，$\frac{a}{2}=\frac{1}≠\frac{2}{3}$，即a=2b，此時(shí)有3個(gè)滿足，（2，1），（4，2），（6，3），（4分）
所以，方程組只有一個(gè)解的概率$P（A）=1-\frac{3}{36}=\frac{11}{12}$．（6分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P落在第四象限為事件B，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}ax+by=2\\ 2x+y=3\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3b-2}{2b-a}\\ y=\frac{4-3a}{2b-a}\end{array}\right.$，（7分）
若點(diǎn)P落在第四象限，則有$\left\{\begin{array}{l}\frac{3b-2}{2b-a}＞0\\ \frac{4-3a}{2b-a}＜0\end{array}\right.$，（8分）
當(dāng)2b-a＞0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}3b-2＞0⇒b＞\frac{2}{3}\\ 4-3a＜0⇒a＞\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ a=2，3\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ a=2，3，4，5\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}b=4\\ a=2，3，4，5，6\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}b=5\\ a=2，3，4，5，6\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}b=6\\ a=2，3，4，5，6\end{array}\right.$
所以符合條件的數(shù)組B={（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），
（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），
（5，6）（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}共21組．（10分）
當(dāng)2b-a＜0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}3b-2＜0⇒b＜\frac{2}{3}\\ 4-3a＞0⇒a＜\frac{4}{3}\end{array}\right.$，不存在符合條件的數(shù)組．
所以，點(diǎn)P落在第四象限的概率$P（B）=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法和對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．