Question

【題目】已知橢圓與拋物線共焦點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)M到y軸的距離等于，且橢圓與拋物線的交點(diǎn)Q滿足．

（I）求拋物線的方程和橢圓的方程；

（II）過拋物線上的點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于、 兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）將拋物線上的點(diǎn)到軸的距離等于和拋物線的定義相結(jié)合，可得，可得拋物線的方程，已知在橢圓中的值，由可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的定義可得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合其有一個交點(diǎn)可得關(guān)系式，聯(lián)立直線與橢圓的方程根據(jù)橢圓與直線有2個交點(diǎn)即，得到關(guān)于不等式，解不等式可得的取值范圍，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理可得，從而可得其范圍.

試題解析：（1）∵拋物線上的點(diǎn)到軸的距離等于，

∴點(diǎn)M到直線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，

得是拋物線的準(zhǔn)線，即，

解得，∴拋物線的方程為；

可知橢圓的右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，

由得，又，解得，

由橢圓的定義得，

∴，又，得，

∴橢圓的方程為．

（2）顯然， ，

由，消去，得，

由題意知，得，

由，消去，得，

其中，

化簡得，

又，得，解得，

設(shè)，則<0，

由，得，∴的取值范圍是．