Question

1．已知m是常數(shù)，對任意實數(shù)x，不等式|3x+1|+|2-3x|≥m恒成立
（1）求m的最大值；
（2）設(shè)a＞b＞0，求證：a+$\frac{4}{{a}^{2}-2ab+^{2}}$≥b+m．

Answer 1

分析 （1）利用恒成立問題，只要求出|3x+1|+|2-3x|的最小值即可；
（2）對式子變形，利用基本不等式求a+$\frac{4}{{a}^{2}-2ab+^{2}}$最小值即可．

解答 （1）解：對任意實數(shù)x，不等式|3x+1|+|2-3x|≥m恒成立，所以|x+$\frac{1}{3}$|+|x-$\frac{2}{3}$|_min=1≥$\frac{m}{3}$恒成立，所以m≤3，所以m的最大值為3；
（2）證明：a＞b＞0，a-b+$\frac{4}{{a}^{2}-2ab+^{2}}$=$\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+\frac{4}{（a-b）^{2}}≥$3$\root{3}{\frac{a-b}{2}•\frac{a-b}{2}•\frac{4}{（a-b）^{2}}}$=3，
所以a-b+$\frac{4}{{a}^{2}-2ab+^{2}}$≥m，即a+$\frac{4}{{a}^{2}-2ab+^{2}}$≥b+m．

點評 本題考查了不等式的恒成立問題以及利用基本不等式證明不等式，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．