Question

17．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，試比較f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）與$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的大�。�

Answer 1

分析 根據(jù)題意和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象畫出圖象，根據(jù)圖象即可得到答案．

解答 解：當(dāng)a＞1時(shí)，畫出函數(shù)f（x）=log_ax的圖象：
如圖：A（x₁、f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），
連結(jié)AB取中點(diǎn)為D，過D做x軸的垂線交圖象與點(diǎn)C，
則C（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）），
D（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]），
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是上凸的，
所以f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，同上畫出函數(shù)的圖象，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是下凸的，
所以f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，以及分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．