Question

（12分）正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，

將AED沿AE折起到的位置時(shí)，有平面 平面ABCE，

并且（如圖）

   （I）判斷并證明E點(diǎn)的具體位置；（II）求點(diǎn)D^/到平面ABCE的距離．

Answer 1

（I）略    （II）

解析:

（I）連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，再連DD，由BDAC，且平面ACD平面ABCE于AC，∴BD平面ACD，故CDBD，又CDBD，∴CD平面BDD，[來(lái)源:學(xué)即得CDDD，在Rt△CDD中，由于ED=ED，∴∠EDD=∠EDD，

則∠ECD=90⁰EDD=90⁰EDD=∠EDC，∴EC=ED=ED，

即E點(diǎn)為邊CD的中點(diǎn)． …………………6分

   （II）方法一：如圖取OC的中點(diǎn)M，連結(jié)DM、EM，

則EM//BD，得EM平面ACD，

即∠EMD=90⁰，又因?yàn)镈E=2，EM=，

則DM=，又ADEM，∵ADDE，

∴ ADDE，∴AD平面EMD，

則ADDM，在Rt△AMD中，AD=4，AM=，DM=，

過(guò)D作DHAM于H點(diǎn)，則DH平面ABCE，

由于DH=，此即得點(diǎn)D到平面ABCE的距離．

方法二：如圖, 連結(jié)OD，∵CD平面BDD， 

∴CDOD，

在△ADC中，設(shè)OD，

則∵OC，∴CD=，

∵∠AOD與∠DOC互補(bǔ)，

由余弦定理得，

解得，在直角三角形ODC中，  

由面積公式得所求距離為．

方法三：能用最小角定理幫助解△ADC，

即，其中

可求．

另解： 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），

A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），

設(shè)E（0，，0），D（），

設(shè)DH平面ABCE于H點(diǎn)，則H在AC上，

∴H的坐標(biāo)為（，0），依題意有：

，，，，[來(lái)源:Zxxk.Com]

∵，

∴，，

∴，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]

，∴，

，∴

由與兩式相減，

將代入得，從而有，

即E為CD中點(diǎn)，點(diǎn)D到平面ABCE的距離是． …………………12分