Question

11．關(guān)于x的不等式x²+2x+a≥0在x∈[-2，3]上的解集非空，則a∈[-15，+∞）．

Answer 1

分析 不等式x²+2x+a≥0在區(qū)間[-2，3]上的解集非空等價(jià)于a≥（-x²-2x）在x∈[-2，3]時(shí)的最小值，
求出f（x）=-x²-2x，在x∈[-2，3]上的最小值即可．

解答 解：關(guān)于x的不等式x²+2x+a≥0在區(qū)間[-2，3]上的解集非空，
∴a≥-x²-2x，在x∈[-2，3]時(shí)成立；
設(shè)函數(shù)f（x）=-x²-2x，則f（x）在x∈[-2，3]上先單調(diào)遞增，后單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（-2）=0，x=3時(shí)，f（3）=-15；
f（x）的最小值是-15；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-15，+∞）．
故答案為：[-15，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了二次函數(shù)在某一閉區(qū)間上最值的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．