Question

在科技館里，小亮看見一臺名為帕斯卡三角的儀器，如下圖所示，當(dāng)一實(shí)心小球從入口落下，它在依次碰到每層菱形擋塊時(shí)，會等可能地向左或向右落下.

（1）試問小球通過第二層A位置的概率是多少？

（2）請用學(xué)過的數(shù)學(xué)方法模擬試驗(yàn)，并具體說明小球下落到第三層B位置和第四層C位置處的概率各是多少？

Answer 1

分析：本題若直接求基本事件的個(gè)數(shù)，按照現(xiàn)在學(xué)過的知識解決比較困難，我們可從樹形圖和列舉法兩種方法求基本事件的總數(shù).

解法一：（1）實(shí)心小球在碰到菱形擋塊時(shí)向左或向右下落是等可能性的,經(jīng)過一個(gè)菱形擋塊后向左或向右下落的概率各是原概率的一半.

畫樹狀圖可知，落到點(diǎn)A位置的概率為.

（2）同理可畫樹狀圖,得落到點(diǎn)B位置的概率為.

（3）同理可畫樹狀圖,得落到C點(diǎn)位置的概率為.

解法二：（1）實(shí)心小球碰到每個(gè)菱形擋塊時(shí)向左或向右是等可能性的，因此小球下落到的可能性會有以下的途徑｛左右，右左｝兩種情況，而下落到第二層，共｛左左，左右，右左，右右｝四種情況.

由概率定義,得P(A)=.

（2）同理，到達(dá)第三層B位置會有以下途徑｛左右右，右左右，右右左｝三種情況,而下落到第三層共有｛左左左，左左右，左右左，左右右，右左左，右左右，右右左，右右右｝八種情況.由概率定義，得P(B)=.

（3）同理，到達(dá)第四層C位置會有｛左左左右，左左右左，左右左左，右左左左｝四種情況,而下落到第四層共有｛左左左左，左左左右，左左右左，左右左左，右左左左，左右左右，左右右左，左左右右，右左左右，右左右左，右右左左，右右右左，右右左右，右左右右，左右右右，右右右右｝,共16種情況.

由概率定義,得P(C)=.

解法三：本題也可用賈憲三角方法，先算出小球下落路徑條數(shù)，如下圖.

由題意知：小球經(jīng)過每條路徑的可能性相同.

由概率定義易得P(A)=，

P(B)=，

P(C)=.

綠色通道

    在解決較為抽象的問題時(shí)，借助于幾何圖形，可以非常直觀、清晰地表達(dá)出問題的條件和結(jié)果，使抽象的思維找到著力點(diǎn)，在概率中利用樹形圖、列表法求基本事件總數(shù)，就是數(shù)形結(jié)合的典范.