Question

已知函數(shù)R，且.

（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；

（2）當(dāng)且時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

解析：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域是，

∴.                               

函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，

∴在上有無窮多個(gè)解.

∴關(guān)于的不等式在上有無窮多個(gè)解.      

① 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，

  關(guān)于的不等式在上總有無窮多個(gè)解.      

② 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線，其對稱軸為

.要使關(guān)于的不等式在上有無窮多個(gè)解.

必須，

解得，此時(shí).                                     

綜上所述，的取值范圍為.                       

另解：分離系數(shù)：不等式在上有無窮多個(gè)解，

則關(guān)于的不等式在上有無窮多個(gè)解，

∴，即，而.                                

∴的取值范圍為.                             

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域是，

∴.

令，得，即，   

，                                               

，，則，   

∴                       

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)1時(shí)，.

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.                 

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為.

① 當(dāng)時(shí)，，若, 則, 即.

此時(shí)，函數(shù)與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；              

② 當(dāng)時(shí)，，又,

,

函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；                       

③ 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與軸沒有交點(diǎn)，故函數(shù)沒有零點(diǎn).