Question

已知數(shù)列的前n項和（n為正整數(shù)）。

（Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。

 

Answer 1

【答案】

(1) 數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列,  

(2) 當(dāng),當(dāng)時

【解析】

試題分析：(I)在中,令n=1,可得,即

當(dāng)時,,

.

 

又數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列.

于是.

(II)由(I)得,所以

由①-②得

于是確定的大小關(guān)系等價于比較的大小由           可猜想當(dāng)證明如下:

證法1:(1)當(dāng)n=3時,由上驗算顯示成立。

(2)假設(shè)時

所以當(dāng)時猜想也成立

綜合(1)(2)可知 ,對一切的正整數(shù),都有

證法2:當(dāng)時

綜上所述,當(dāng),當(dāng)時

考點：數(shù)列的通項公式和求和，數(shù)學(xué)歸納法

點評：解決該試題的關(guān)鍵是能熟練的結(jié)合通項公式與前n項和的關(guān)系來得到通項公式，并運用數(shù)學(xué)歸納法來證明。屬于中檔題。