Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線與動(dòng)直線的交點(diǎn)為，線段的中垂線與動(dòng)直線的交點(diǎn)為．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過動(dòng)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為， ，求證： 的大小為定值．

Answer 1

【答案】（1）曲線的方程為．（2）詳見解析

【解析】試題分析：根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離等于到定直線距離，符合拋物線定義，寫出拋物線方程，第二步設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得，可知為定值.

試題解析：（1）因?yàn)橹本�與垂直，所以為點(diǎn)到直線的距離．

連結(jié)，因?yàn)?/span>為線段的中垂線與直線的交點(diǎn)，所以．

所以點(diǎn)的軌跡是拋物線．

焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．

所以曲線的方程為．

（2）由題意，過點(diǎn)的切線斜率存在，設(shè)切線方程為，

聯(lián)立 得，

所以，即（*），

因?yàn)?/span>，所以方程（*）存在兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為，

因?yàn)?/span>，所以，為定值．