Question

函數(shù)y=f（x）是定義在[a，b]上的增函數(shù)，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）無零點(diǎn)，設(shè)F（x）=f²（x）+f²（-x），則對(duì)于函數(shù)y=F（x）有如下四種說法：

①定義域是[-b，b]；②最小值是0；③是偶函數(shù)；④在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．

其中正確的說法是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②④
3. C.
   ①③
4. D.
   ①④

Answer 1

C
分析：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：對(duì)于①，根據(jù)F（x）的解析式以及f（x）的定義域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定義域，可得①正確；對(duì)于②，舉出反例，當(dāng)f（x）＞1時(shí)，可得F（x）的最小值不是0，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，先求出F（-x），可得F（-x）=F（x），再結(jié)合F（x）的其定義域，可得F（x）為偶函數(shù)，故③正確；對(duì)于④，由于F（x）是偶函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，可得④錯(cuò)誤；綜合可得答案．
解答：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：
對(duì)于①，F(xiàn)（x）=f²（x）+f²（-x），有a≤x≤b，且a≤-x≤b，
而又由0＜b＜-a，則F（x）=f²（x）+f²（-x）中，x的取值范圍是-b≤x≤b，即其定義域是[-b，b]，則①正確；
對(duì)于②，由y=f（x）無零點(diǎn)，假設(shè)f（x）=2^x，F(xiàn)（x）=2^2x+2^-2x=2^2x+≥2，其最小值為2，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，F(xiàn)（-x）=f²（-x）+f²（x）=F（x），且其定義域?yàn)閇-b，b]，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則F（x）為偶函數(shù)，③正確；
對(duì)于④，由于F（x）是偶函數(shù)，則F（x）在[-b，0]上與[0，b]上的單調(diào)性相反，故F（x）在其定義域內(nèi)不會(huì)單調(diào)遞增，④錯(cuò)誤；
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、最值等性質(zhì)，判斷②時(shí)，注意要結(jié)合函數(shù)F（x）的定義域．