Question

【題目】已知

（1）求；

（2）我們知道二項(xiàng)式的展開(kāi)式,若等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得，令得.利用此方法解答下列問(wèn)題：

①求；

②求.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①2n；②4n2－2n.

【解析】

（1）采用賦值法，令，求系數(shù)的和；（2）①原式兩邊求導(dǎo)，得，再賦值求值；②兩邊同時(shí)乘以，然后兩邊再求導(dǎo)，賦值求值.

（1） 對(duì)于(2x－1)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，

取x=1得a0＋a1＋a2＋…＋an=1.

（2） ①對(duì)(2x－1)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn兩邊求導(dǎo)得2n(2x－1)n－1=a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋nanxn－1，

取x=1得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan=2n.

②將2n(2x－1)n－1=a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋nanxn－1兩邊乘以x得

2n(2x－1)n－1·x=a1x＋2a2x2＋3a3x3＋…＋nanxn，

兩邊求導(dǎo)得

2n[2(n－1)(2x－1)n－2x＋(2x－1)n－1]=a1＋22a2x＋32a3x2＋…＋n2anxn－1，

取x=1得12a1＋22a2＋32a3＋…＋n2an=4n2－2n.