Question

1．如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過直線EF的平面分別與棱BB′，DD′交于M，N，給出以下四個(gè)命題：
①平面MENF一定為矩形；
②平面MENF⊥平面BDD′B′；
③當(dāng)M為BB₁的中點(diǎn)時(shí)，MENF的面積最�。�
④四棱錐A-MENF的體積為常數(shù)．
以上命題中正確命題的序號(hào)為②③④．

Answer 1

分析 由EF⊥BD，EF⊥BB′，得出EF⊥平面BDD′B′，平面MENF⊥平面BDD′B′，判斷②正確；
由EF⊥平面BDD′B′，得出EF⊥MN，再由MF∥EN，ME∥NF，得出MENF為菱形，判斷①錯(cuò)誤；
由菱形MENF的面積公式，得出M為BB′的中點(diǎn)時(shí)，MENF的面積最小，判斷③正確；
計(jì)算四棱錐A-MENF的體積為V=V_M-AEF+V_N-AEF=DB×S_△AEF為常數(shù)，判斷④正確．

解答 解：因?yàn)镋F⊥BD，EF⊥BB′，BD∩BB′=B，所以EF⊥平面BDD′B′，
所以平面MENF⊥平面BDD′B′，②正確；
EF⊥平面BDD′B′，MN?平面BDD′B′，所以EF⊥MN，
因?yàn)镸F∥EN，ME∥NF，所以四邊形MENF為菱形，①錯(cuò)誤；
因?yàn)榱庑蜯ENF的面積為S=$\frac{1}{2}$NM×EF，
所以當(dāng)M為BB′的中點(diǎn)時(shí)，MENF的面積最小，③正確；
因?yàn)樗睦忮FA-MENF的體積為
V=V_M-AEF+V_N-AEF=DB×S_△AEF為常數(shù)，所以④正確．
綜上，正確的命題是②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了空間幾何體體積的計(jì)算問題，是綜合題．